Theorie und Tumore

Die Mathematik ist eine Wissenschaft, die sich auch im "echten" Leben anwenden lässt – um Kranken zu helfen.

Einige medizinische Behandlungen wären wesentlich komplizierter, gäbe es keine Mathematiker. Hierzu zählt die Therapie mit radioaktiver Strahlung bei bestimmten Tumoren. Professor Anand Srivastav und Diplom- Mathematiker Lasse Kliemann vom Institut für Informatik haben gemeinsam mit Dr. Frank- André Siebert (Klinik für Strahlentherapie des UK S-H) und Helena Fohlin (Onkologiezentrum der Universität Linköping, Schweden) eine neue Lösung für ein wichtiges Problem einer besonderen Therapieform gefunden, der Brachytherapie. Um die wird es auch in einem Vortrag von Srivastav am 12. Februar unter dem Titel "Mathematik in der Medizin – Optimierung der Tumorbestrahlung" gehen.

Anders als sonst, wird bei der Brachytherapie der Tumor nicht von außen sondern von innen bestrahlt. Dadurch bleibt gesundes Gewebe von der radioaktiven Bestrahlung verschont. Die permanente Brachytherapie mit radioaktiven Implantaten wird in Kiel bei der Behandlung von Prostatakrebs im frühen Stadium erfolgreich angewandt. Dabei werden in das betroffene Organ bis zu 80 Iod-125-Strahler, so genannte "Seeds" eingesetzt. Über einen Zeitraum von einigen Monaten werden so die befallenen Zellen kontinuierlich bestrahlt und zerstört. Neu ist dieses Verfahren nicht, schon seit den achtziger Jahren wird es angewandt. Aber gleich zwei mathematische Probleme müssen dabei gelöst werden: die möglichst Metallpolioptimale Platzierung der Seeds im Organ und deren genaue Lagebestimmung nach der Operation.

»Die Behandlung kann nur einmal durchgeführt werden«, sagt Srivastav, »deswegen müssen die Seeds möglichst optimal platziert werden, so dass einerseits die Tumorzellen zerstört, aber umliegende Organe in der Prostata – beispielsweise Rektum (Mastdarm) oder Harnleiter – weitgehend geschont werden.« Nach der OP muss überprüft werden, ob mit den Seeds wirklich alle Bereiche des tumorbefallenen Gewebes abgedeckt wurden. Eine Möglichkeit sind dreidimensionale Aufnahmen des Organs per Computertomographie. »Allerdings ist die Auflösung des Bildes häufig nicht ausreichend, um die wirkliche Konfiguration der Seeds zu sehen. Zudem wird die Erkennung der Seeds im Computertomographen durch Bildstörungen erschwert, die durch die Seeds selbst verursacht werden.«

Zu dem fehleranfälligen Verfahren wurde eine Alternative geschaffen. Es werden drei Röntgenaufnahmen aus drei verschiedenen Winkeln angefertigt. Auf jeder Aufnahme sieht man die Seeds als weiße Striche und steht vor einem neuen Problem: »aus den drei Aufnahmen die räumliche Verteilung der Seeds zu rekonstruieren«, so Srivastav. Welche weißen Striche gehören zusammen?

Das so genannte "Hypergraphen-Matching" ist ein besonders schwer lösbares mathematisches Optimierungsproblem. Man weiß, dass es einen Algorithmus, eine Handlungsvorschrift, gibt, die das Problem zwar löst. Aber die Anzahl der Berechnungsschritte dieses Algorithmus wächst mit der Anzahl der Seeds. Schon im Falle von 20 Seeds gibt es extrem viele Möglichkeiten der Zuordnung, die der Algorithmus berechnen muss. Bei 80 Seeds wären es sogar schon mehr, »als Atome im ganzen Universum existieren«, so Srivastav, »es gibt keinen Computer, der so viele Lösungen abspeichern könnte.« An dieser Stelle haben sich die Kieler Forscher etwas einfallen lassen: Mit einer geometrischen dreidimensionalen Konstruktion modellierten sie das Problem und fanden darin schließlich Strukturen und einen passenden Algorithmus, »der samt seiner Umsetzung in eine Programmiersprache in der Praxis sehr gut funktioniert. Für die tägliche Routine in der Klinik ist das eine große Erleichterung, weil bislang die Rekonstruktion wesentlich mehr Handarbeit erforderte, als es nun der Fall ist«, erklärt Lasse Kliemann.

Jana E. Seidel

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